Question

【题目】已知半径为的圆的圆心在轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线相切．

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）设直线 与圆相交于两点，求实数的取值范围；

（Ⅲ） 在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数，使得弦的垂直平分线过点，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）存在实数

【解析】试题分析：

(Ⅰ)设出圆心坐标，利用点到直线的距离等于半径可得，则圆的方程为．

(Ⅱ)由题意得到关于实数a的不等式，求解不等式可得实数a的取值范围是；

(Ⅲ)由题意讨论可得存在实数满足题意.

试题解析：

（Ⅰ）设圆心为（）．由于圆与直线相切，且半径为，所以 ，即．因为为整数，故．

故所求圆的方程为．

（Ⅱ）， 则或，又故

（Ⅲ）设符合条件的实数存在，由于，则直线的斜率为

的方程为，即

由于垂直平分弦AB，故圆心必在上，

所以，解得。由于，故存在实数

使得过点的直线垂直平分弦AB