Question

若关于x的不等式|x+4|+|x+1|＜

2m2+1

m

有解，则m的取值范围为

0＜m＜

1

2

或m＞1

．

Answer 1

分析：根据含有绝对值不等式的性质，得不等式左边x+4|+|x+1|的最小值为3，因此当

2m2+1

m

＞3时，原不等式有实数解，解此关于m的不等式，可得0＜m＜

1

2

或m＞1．

解答：解：设F（x）=|x+4|+|x+1|
∵|x+4|+|x+1|≥|（x+4）-（x+1）|=3
∴F（x）=|x+4|+|x+1|的最小值为3，当x∈[-4，-1]时取到最小值3
∵关于x的不等式|x+4|+|x+1|＜

2m2+1

m

有解，
∴

2m2+1

m

＞3，得

m＞0 2m2-3m+1＞0

，解之得0＜m＜

1

2

或m＞1
故答案为：0＜m＜

1

2

或m＞1

点评：本题给出含有绝对值的不等式有实数解，求参数m的取值范围．着重考查了绝对值不等式的性质和一元二次不等式解法等知识，属于基础题．