Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinA-cosA=

2 2 -1

3

．
（I）求sin(2A-

π

4

)的值；
（II）若a=2，c=

3

2

，求角C的大小．

Answer 1

分析：（1）将sinA-cosA=

2 2 -1

3

两端平方，可求得sin2A，sinA-cosA=

2 2 -1

3

∈(0，1)，可确定A的范围，从而可求cos2A，利用两角和的正弦公式即可求得sin(2A-

π

4

)的值；
（2）由sin2A=

4 2

9

，sinA-cosA=

2 2 -1

3

，可求得sinA，cosA，利用正弦定理可求得角C的大小．

解答：解：（I）由(sinA-cosA)2=(

2 2 -1

3

)2，即1-sin2A=

9-4 2

9

，
∴sin2A=

4 2

9

∵0＜sinA-cosA=

2 2 -1

3

＜1
∴

π

4

＜A＜

π

2

，
∴cos2A=-

7

9

…（4分）
∴sin(2A-

π

4

)=sin2Acos

π

4

-cos2Asin

π

4

=

2

2

(sin2A-cos2A)=

2

2

(

4 2

9

+

7

9

)=

4

9

+

7 2

18

…（7分）
（II）易得 sinA=

2 2

3

，cosA=

1

3

，…（9分）
∴由

a

sinA

= 

c

sinC

得sinC=

csinA

a

，而a=2，c=

3

2

，sinA=

2 2

3

解得sinC=

2

2

…（12分）
∵c＜a
∴0＜C＜

π

2

∴C=

π

4

…（14分）

点评：本题考查同角三角函数的关系式，难点在于结合三角函数值确定角A的取值范围，重点考查学生灵活应用两角和与差的正弦及正弦定理的应用，属于中档题．