Question

如图所示，斜三棱柱ABC―A₁B₁C₁的侧面A₁ACC_l与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2，且AA_l⊥A₁C，AA_l=A₁C．

(1)求侧棱A₁A与底面ABC所成角的大小；

(2)求侧面A₁ABB_l与底面ABC所成二面角的大小；

(3)求顶点C到侧面A₁ABB_l的距离．

Answer 1

解：(1)作A₁E⊥AC，垂足为E．

∵侧面A₁ACC₁与底面ABC垂直，

∴A₁E⊥底面ABC，

    ∴A₁AE是侧棱A₁A与底面ABC所成的角．

    又∵AA₁上A₁C，AA₁=A₁C，

    ∴∠A₁AE=45°为所求．

    (2)作EF⊥AB，垂足为F，如图所示．

    ∵A₁E⊥底面ABC，∴A₁F⊥AB，

∴∠A₁FE是侧面A₁ABB₁与底面ABC所成二面角的平面角．

又∠ABC=90°，BC=2，AC=2，E为AC的中点，

    ∴EF=1，A₁E=AE=

    在Rt△A₁EF中，tan∠A₁FE=，

    故∠A₁FE=60°，即侧面A₁ABB₁与底面ABC所成二面角等于60°．

    (3)解法一：作CG⊥侧面A₁ABB₁，垂足为G，即CG为所求．连接BG．

     ∵AB⊥BC，由三垂线定理得AB⊥BG．

  又A₁F⊥AB，∴BG∥A₁F．

     又EF//BC，∴∠GBC=∠A₁FE=60°，

     在Rt△GBC中，GC=BC?sin60°=．

     ∴顶点C到侧面A₁ABB_l的距离等于．

解法二：由(2)知EF⊥AB，A₁F⊥AB，

∴AB⊥平面A₁EF，而AB侧面A₁ABB₁，

∴侧面A₁ABB_l⊥平面A₁ EF．

作EH⊥A₁F，则EH⊥侧面A₁ABB₁．

       ∴EH是点E到A₁ABB_l的距离．

       在Rt△EFH中，EH=EF?sin60°=．

       又E是AC的中点，故C到侧面A₁ABB_l的距离等于2EH=．

       解法三：根据定义，点C到平面A₁ABB₁的距离即为三棱锥C―A₁AB的高h．

       由=，得

，

即，

h=为所求距离．