Question

一个三角形数表按如下方式构成：第一行依次写上n(n≥4)个数，在上一行的每相邻两数的中间正下方写上这两数之和，得到下一行，依此类推．记数表中第i行的第j个数为f(i，j)．

(1)若数表中第i(1≤i≤n－3)行的数依次成等差数列，求证：第i＋1行的数也依次成等差数列；

(2)已知f(1，j)＝4j，求f(i，1)关于i的表达式；

(3)在(2)的条件下，若f(i，1)＝(i＋1)(a_i－1)，，试求一个函数g(x)，使得S_n＝b₁g(1)＋b₂g(2)＋…＋b_ng(n)＜，且对于任意的，均存在实数λ，使得当n＞λ时，都有S_n＞m．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)数表中第i＋1行的数依次所组成数列的通项为，则由题意可得 　　　2分 　　(其中d为第i行数所组成的数列的公差)　4分 　　(2) 　　∴第一行的数依次成等差数列，由(1)知，第2行的数也依次成等差数列，依次类推，可知数表中任一行的数(不少于3个)都依次成等差数列． 　　设第行的数公差为，则，则 　　所以 　　 　　　8分 　　(3)由，可得 　　所以＝ 　　令，则，所以 　　要使得，即，只要＝， 　　，，所以只要， 　　即只要，所以可以令 　　则当时，都有． 　　所以适合题设的一个函数为　13分