Question

4．如图，已知PA与圆O相切于点A，半径OB⊥OP，AB交PO于点C．
（1）求证：PA=PC；
（2）若圆O的半径为3，PO=5，求线段AC的长度．

Answer 1

分析 （1）根据弦切角定理，可得∠PAB=∠ACB，根据圆周角定理可得∠BAC=90°，结合BC⊥OP，根据同角的余角相等及对顶角相等可得∠PDA=∠PAB，即△PAD为等腰三角形；
（2）利用切割线定理求出PA，再求出cos∠AOP，利用余弦定理，即可得出结论．

解答 （1证明：∵PA与圆O相切于点A，
∴∠PAB=∠ADB
∵BD为圆O的直径，
∴∠BAD=90°
∴∠ADB=90°-∠B
∵BD⊥OP，
∴∠BCO=90°-∠B
∴∠BCO=∠PCA=∠PAB
即△PAC为等腰三角形
∴PA=PC；…（5分）
（2）解：假设PO与圆O相交于点M，延长PO交圆O于点N．
∵PA与圆O相切于点A，PMN是圆O的割线，
∴PA²=PM•PN=（PO-OM）（PO+ON）．
∵PO=5，OM=ON=3，∴PA=4．
由（1）知PC=PA=4，∴OC=1．
在Rt△OAP中，cos∠AOP=$\frac{OA}{OP}$=$\frac{3}{5}$．
∴AC²=9+1-2×3×1×$\frac{3}{5}$=$\frac{32}{5}$．
∴AC=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．…（10分）

点评 本题考查的知识点是弦切角定理，圆周角定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，属于中档题．