Question

（2012•无为县模拟）已知定义在R上的函数f（x）、g（x）满足

f(x)

g(x)

=ax，且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，若有穷数列

f(n)

g(n)

（n∈N^*）的前n项和等于

31

32

，则n等于 （　　）

A．4

B．5

C．6

D．7

Answer 1

分析：利用导数研究函数的单调性得到a的范围，再利用等比数列前n项和公式即可得出．

解答：解：∵[

f(x)

g(x)

]′=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g2(x)

，f^′（x）g（x）＜f（x）g^′（x），
∴[

f(x)

g(x)

]′=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g2(x)

＜0，即函数

f(x)

g(x)

=ax单调递减，∴0＜a＜1．
又

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，即a+a-1=

5

2

，即a+

1

a

=

5

2

，解得a=2（舍去）或a=

1

2

．
∴

f(x)

g(x)

=(

1

2

)x，即数列

f(n)

g(n)

=(

1

2

)n是首项为a1=

1

2

，公比q=

1

2

的等比数列，
∴Sn=

a1(1-qn)

1-q

=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=1-(

1

2

)n，
由1-(

1

2

)n=

31

32

解得n=5，
故选B．

点评：熟练掌握导数研究函数的单调性、等比数列前n项和公式是解题的关键．