Question

已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，倾斜角为的直线过点.

（Ⅰ）求该椭圆的方程；

（Ⅱ）设椭圆的另一个焦点为，问抛物线上是否存在一点，使得与关于直线对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）抛物线上存在一点，使得与关于直线对称．

（Ⅱ）∵ 倾斜角为的直线过点，

∴ 直线的方程为，即，………………………7分

由（Ⅰ）知椭圆的另一个焦点为，设与关于直线对称，则得   ，       ………………………………………9分

解得，即，      ………………………………………11分

又满足，故点在抛物线上。所以抛物线上存在一点，使得与关于直线对称。 ………………………………13分

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；抛物线的简单性质．