Question

（2013•湖南）设S_n为数列{a_n}的前n项和，Sn=(-1)nan-

1

2n

，n∈N^*，则
（1）a₃=

-

1

16

；
（2）S₁+S₂+…+S₁₀₀=

1

3

(

1

2100

-1)

．

Answer 1

分析：（1）把给出的数列递推式先分n=1和n≥2讨论，由此求出首项和n≥2时的关系式an=(-1)nan+(-1)nan-1+

1

2n

．对此关系式再分n为偶数和奇数分别得到当n为偶数和奇数时的通项公式，则a₃可求；
（2）把（1）中求出的数列的通项公式代入Sn=(-1)nan-

1

2n

，n∈N^*，则利用数列的分组求和和等比数列的前n项和公式可求得结果．

解答：解：由Sn=(-1)nan-

1

2n

，n∈N^*，
当n=1时，有a1=(-1)1a1-

1

2

，得a1=-

1

4

．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(-1)nan-

1

2n

-(-1)n-1an-1+

1

2n-1

．
即an=(-1)nan+(-1)nan-1+

1

2n

．
若n为偶数，则an-1=-

1

2n

(n≥2)．
所以an=-

1

2n+1

（n为正奇数）；
若n为奇数，则an-1=-2an+

1

2n

=(-2)•(-

1

2n+1

)+

1

2n

=

1

2n-1

．
所以an=

1

2n

（n为正偶数）．
所以（1）a3=-

1

24

=-

1

16

．
故答案为-

1

16

；
（2）因为an=-

1

2n+1

（n为正奇数），所以-a1=-(-

1

22

)=

1

22

，
又an=

1

2n

（n为正偶数），所以a2=

1

22

．
则-a1+a2=2×

1

22

．
-a3=-(-

1

24

)=

1

24

，a4=

1

24

．
则-a3+a4=2×

1

24

．
…
-a99+a100=2×

1

2100

．
所以，S₁+S₂+S₃+S₄+…+S₉₉+S₁₀₀
=(-a1+a2)+(-a3+a4)+…+(-a99+a100)-(

1

2

+

1

22

+…+

1

2100

)
=2(

1

4

+

1

16

+…+

1

2100

)-(

1

2

+

1

22

+…+

1

2100

)
=2•

1 4 (1- 1 450 )

1- 1 4

-

1 2 (1- 1 2100 )

1- 1 2

=

1

3

(

1

2100

-1)．
故答案为

1

3

(

1

2100

-1)．

点评：本题考查了数列的求和，考查了数列的函数特性，解答此题的关键在于当n为偶数时能求出奇数项的通项，当n为奇数时求出偶数项的通项，此题为中高档题．