题目内容

已知等差数列{a_n}的公差d不为0，等比数列{b_n}的公比q是小于1的正有理数．若a₁=d，b₁=d²，且 $数学公式$ 是正整数，则q等于________．

$\text{[math]}$
分析：由等差数列和等比数列的通项公式，将a₂=a₁+d=2d，a₃=a₁+2d=3d，b₂=b₁q=d²q，b₃=b₁q²=d²q²代入 $\text{[math]}$ ，再由比值是正整数，通过验证的方法求解．
解答：根据题意：a₂=a₁+d=2d，a₃=a₁+2d=3d
b₂=b₁q=d²q，b₃=b₁q²=d²q²
∴ $\text{[math]}$
又∵ $\text{[math]}$ 是正整数，q是小于1的正有理数．
可令 $\text{[math]}$ ，t是正整数，则有 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$
解得q= $\text{[math]}$
对t赋值，验证知，当t=8时，有q= $\text{[math]}$ 符合题意
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式的应用，特别是等比数列混合题，两者的内在联系很重要．

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