Question

【题目】已知函数。

（1）当时，求函数在处的切线方程；

（2）求函数在上的最小值；

（3）证明：，都有．

Answer 1

【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)证明见解析.

【解析】试题分析：

(1)利用导函数研究函数的切线方程可得切线方程为

(2)分类讨论可得：当时，；当，；当时，

(3)构造新函数，结合(1)的结论和不等式的特点研究函数的最值即可证得题中的结论.

试题解析：

（1）时，

切线斜率，切点为，切线方程为

（2），令

①当时，，在上单调递增，

；

②当，即时， 在上单调递减，在上单调递增，；

③当时，，在上单调递减，

（3）要证的不等式两边同乘以，则等价于证明

令，则由（1）知

令，则，当时，，递增；

当时，，递增减；

所以，且最值不同时取到，即

，都有。