Question

内接于半径为R的半圆且周长最大的矩形的边长为（ ）
A．和
B．和
C．和
D．和

Answer 1

【答案】分析：如图所示：矩形的长为2Rcosθ，宽为 Rsinθ，故矩形的周长为4Rcosθ+2Rsinθ=2R sin（θ+∅），矩形的周长的最大时有cosθ+sinθ=1，解出cosθ 和sinθ 的值，即可求得所求．
解答：解：如图所示：设矩形ABCD，∠AOB=θ，
由题意可得矩形的长为2Rcosθ，宽为 Rsinθ，
故矩形的周长为4Rcosθ+2Rsinθ=2R （cosθ+sinθ）=2R sin（θ+∅），
其中，sin∅=，cos∅=．故矩形的周长的最大值等于2R，此时，sin（θ+∅）=1．
即 （cosθ+sinθ）=1，再由sin²θ+cos²θ=1可得cosθ=，sinθ=，
故矩形的长为 2R =，宽为 ，
故选D．
点评：本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，正弦函数的值域，得到 cosθ+sinθ=1，是解题的关键．