Question

内接于半径为R的半圆且周长最大的矩形的边长为（　　）

• A．

  R

  2

  和

  3R

  2

• B．

  4R

  5

  和

  7R

  5

• C．

  R

  5

  和

  16R

  5

• D．

  5 R

  5

  和

  4 5 R

  5

Answer 1

分析：如图所示：矩形的长为2Rcosθ，宽为 Rsinθ，故矩形的周长为4Rcosθ+2Rsinθ=2

5

R sin（θ+∅），矩形的周长的最大时有

2

5

cosθ+

1

5

sinθ=1，解出cosθ 和sinθ 的值，即可求得所求．

解答：解：如图所示：设矩形ABCD，∠AOB=θ，
由题意可得矩形的长为2Rcosθ，宽为 Rsinθ，
故矩形的周长为4Rcosθ+2Rsinθ=2

5

R （

2

5

cosθ+

1

5

sinθ）=2

5

R sin（θ+∅），
其中，sin∅=

2

5

，cos∅=

1

5

．故矩形的周长的最大值等于2

5

R，此时，sin（θ+∅）=1．
即 （

2

5

cosθ+

1

5

sinθ）=1，再由sin²θ+cos²θ=1可得cosθ=

2

5

，sinθ=

1

5

，
故矩形的长为 2R

2

5

=

4 5 R

5

，宽为

5 R

5

，
故选D．

点评：本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，正弦函数的值域，得到

2

5

cosθ+

1

5

sinθ=1，是解题的关键．