Question

已知函数f（x）=x²+2x．
（Ⅰ）数列a_n满足：a₁=1，a_n+1=f'（a_n），求数列a_n的通项公式；
（Ⅱ）已知数列b_n满足b₁=t＞0，b_n+1=f（b_n）（n∈N*），求数列b_n的通项公式；
（Ⅲ）设cn=

bn+1

bn+1

，数列{cn}的前n项和为S_n，若不等式λ＜S_n对所有的正整数n恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出导函数，代入得到a_n+1=2a_n+2，两边加2化简得a_n+2为首项为a₁+2，公比为2的等比数列，写出通项，求出a_n即可；
（Ⅱ）将b_n代入到f（b_n）中化简b_n+1=f（b_n）得到b_n+1+1=（b_n+1）²，两边取对数得到lg（b_n+1）的公比为2的等比数列得到b_n的通项；
（Ⅲ）由c_k+1=b_k²+2b_k，和bk+2=

bk+1

bk

得到c_k的通项公式，求出前n项的和S_n且在n∈[1，+∞）上是增函数，求出S_n的最小值为S₁，令λ＜S₁求出λ的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=2x+2，
∴a_n+1=2a_n+2∴a_n+1+2=2（a_n+2），因为a_n+2为等比数列，∴a_n+2=（a₁+2）2^n-1∴a_n=3•2^n-1-2
（Ⅱ）由已知得b_n＞0，b_n+1+1=（b_n+1）²，
∴lg（b_n+1+1）=2lg（b_n+1），
∴又lg（b₁+1）=lg（t+1）≠0，所以lg（b_n+1）的公比为2的等比数列，
∴b_n=（t+1）2^n-1-1
（Ⅲ）∵b_k+1=b_k²+2b_k，∴bk+2=

bk+1

bk

，ck=

bk+1

bk+1

=

(bk+2)-1

bk+1

=

1

bk

-

1

bk+1

，k=1，2，n∴Sn=c1+c2++cn=(

1

b1

-

1

b2

)+(

1

b2

-

1

b3

)++(

1

bn

-

1

bn+1

)=

1

t

-

1

(t+1)2n-1

，
∵t＞0，∴t+1＞1，∴S_n在n∈[1，+∞）上是增函数
∴S_n≥S₁=

1

t

-

1

(t+1)2-1

=

t+1

t2+2t

，又不等式λ＜S_n对所有的正整数n恒成立，
∴λ＜

t+1

t2+2t

，故λ的取值范围是（-∞，

t+1

t2+2t

)

点评：考查学生掌握等比数列的通项公式，灵活运用等比数列的性质，会用数列的递推解决问题，理解不等式恒成立时取到的条件．