Question

如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为。

（1）求轨迹的方程；
（2）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围。

Answer 1

（1）（2）

解析试题分析：（1）求动点轨迹方程，一般有四步.第一步，设所求动点的坐标，第二步，将条件转化为坐标表示，本题，两边取正切，转化为斜率关系，第三步，化简关系式为常见方程形式，第四步，根据方程表示图像，去掉不满足的部分.（2）研究取值范围，首先将表示为函数关系式.因为等于,所以先求出，从而有
，利用直线与双曲线有两个交点这一限制条件，得到m>1,且m2，这作为所求函数定义域，求出值域即为的取值范围是
试题解析：解（1）设M的坐标为（x,y），显然有x>0,.
当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，, ±3）
当∠MBA≠90°时；x≠2.由∠MBA=2∠MAB,
有tan∠MBA=,即
化简得：3x2-y2-3=0,而又经过（2，,±3）
综上可知，轨迹C的方程为3x2-y2-3=0（x>1）       5分
(2)由方程消去y，可得。（*）
由题意，方程（*）有两根且均在（1，+）内，设
所以
解得，m>1,且m2
设Q、R的坐标分别为，由有

所以
由m>1，且m2，有

所以的取值范围是               12分
考点：直接法求轨迹方程，直线与双曲线位置关系