Question

12．已知sinθ-cosθ=$\frac{1}{2}$，θ∈（0，π），则tanθ=$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$．

Answer 1

分析 把已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简，求出sinθ+cosθ的值，与已知等式联立求出sinθ与cosθ的值，即可确定出tanθ的值．

解答 解：对sinθ-cosθ=$\frac{1}{2}$①，平方得1-2sinθcosθ=$\frac{1}{4}$，即2sinθcosθ=$\frac{3}{4}$，
由θ∈（0，π），知θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∵（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ=$\frac{7}{4}$，
∴sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{7}}{2}$②，
联立①②，解得：sinθ=$\frac{\sqrt{7}+1}{4}$，cosθ=$\frac{\sqrt{7}-1}{4}$，
则tanθ=$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$，
故答案为：$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．