Question

已知xy＞0，则|x+

1

2y

|+|y+

1

2x

|的最小值为

 

．

Answer 1

分析：因为原式带有绝对值，所以首先应分x＞0，y＞0和x＜0，y＜0两种情况讨论，去绝对值，然后重新分组，凑成x+

1

2x

，y+

1

2y

的形式，最后应用均值不等式求解．

解答：解：∵xy＞0，
∴①当x＞0，y＞0时，原式=x+

1

2x

+y+

1

2y

≥2

1 2

+2

1 2

=2

2

，
当且仅当x=

1

2x

，y=

1

2y

，即x=y=

2

2

时取等号；
②当x＜0，y＜0时，原式=-x-

1

2x

-y-

1

2y

≥2

1 2

+2

1 2

=2

2

，
当且仅当-x=-

1

2x

，-y=-

1

2y

，即x=y=-

2

2

时取等号；
综上，|x+

1

2y

|+|y+

1

2x

|的最小值为2

2

．

点评：本题考查了指数函数的性质和均值不等式等知识点，运用了分类讨论思想，是高考考查的重点内容．