题目内容

已知F₁，F₂分别是椭圆 $数学公式$ （a＞b＞0）的左、右焦点，半焦距为c，直线x=- $数学公式$ 与x轴的交点为N，满足 $数学公式$ ，设A、B是上半椭圆上满足 $数学公式$ 的两点，其中 $数学公式$ ．
（1）求椭圆的方程及直线AB的斜率k的取值范围；
（2）过A、B两点分别作椭圆的切线，两切线相交于一点P，试问：点P是否恒在某定直线上运动，请说明理由．

解：（1）由于 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
解得a²=2，b²=1，从而所求椭圆的方程为 $\text{[math]}$ =1．
∵ $\text{[math]}$ 三点共线，而点N的坐标为（-2，0）．
设直线AB的方程为y=k（x+2），其中k为直线AB的斜率，依条件知k≠0．
由 $\text{[math]}$ 消去x得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．
根据条件可知 $\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$ ，依题意取 $\text{[math]}$ ．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则根据韦达定理，得 $\text{[math]}$ ，
又由 $\text{[math]}$ ，得（x₁+2，y₁）=λ（x₂+2，y₂）
，∴ $\text{[math]}$ 从而 $\text{[math]}$
从而 $\text{[math]}$ 消去y₂得 $\text{[math]}$ ．
令 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．
由于 $\text{[math]}$ ，所以φ'（λ）＜0．
∴φ（λ）是区间 $\text{[math]}$ 上的减函数，从而 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，而 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．
故直线AB的斜率的取值范围是 $\text{[math]}$ ．
（2）设点P的坐标为（x₀，y₀），则可得切线PA的方程是 $\text{[math]}$ ，
而点A（x₁，y₁）在此切线上，有 $\text{[math]}$ 即x₀x₁+2y₀y₁=x₁²+2y₁²，
又∵A在椭圆上，∴有x₀x₁+2y₀y=2，①同理可得x₀x₂+2y₀y₂=2．②
根据①和②可知直线AB的方程为，x₀x+2y₀y=2，而直线AB过定点N（-2，0），∴-2x₀=2?x₀=-1，
因此，点P恒在直线x=-1上运动．
分析：（1）依据题意联立方程求得a，b，则拖得方程可得．根据 $\text{[math]}$ 判断出A，B，N三点共线，进而设出直线AB的方程，与椭圆的方程联立消去x，根据判别式大于0求得k的范围，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则根据韦达定理，可表示出y₁+y₂和y₁y₂，利用 $\text{[math]}$ 求得（x₁+2，y₁）=λ（x₂+2，y₂），联立方程组消去y₂，求得λ和k的关系，令 $\text{[math]}$ 进而进行求导，推断函数的单调性，根据λ的范围求得k的范围．
（2）设出P的坐标，进而求得PA的方程，把点A代入，同时代入椭圆的方程，推断出直线AB的方程，根据其过定点求得x₀，进而推断出点P恒在直线x=-1上运动．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆锥曲线知识体系的重点内容，问题的解决具有入口宽、方法灵活多样等，而不同的解题途径其运算量繁简差别很大，故此类问题能有效地考查考生分析问题、解决问题的能力，平时应作为重点来复习训练．