Question

【题目】如图，在直三棱柱中，为等腰直角三角形，，D为BC的中点．

（1）求证：平面；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）．

【解析】

（1）连接交与点，可证得，从而得证线面平行；

（2）以DA，DC所在直线，过点D且平行于的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的一个法向量，由直线的方向向量与法向量夹角的余弦值的绝对值求得线面角的正弦值．

（1）连接，记，连接DE，

在直三棱柱中，易知侧面为平行四边形，所以E是的中点，

又D为BC的中点，所以，

又平面，平面，所以平面．

（2）因为，D为BC的中点，所以，

又在直三棱柱中，平面ABC，

所以可以DA，DC所在直线，过点D且平行于的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为，为等腰直角三角形，

所以，，，，

故，，．

设平面的法向量为，则，即，所以，

令，得，则为平面的一个法向量，

设直线与平面所成的角为，

则．

故直线与平面所成角的正弦值为．