Question

【题目】已知数列，记集合.

（1）对于数列，写出集合；

（2）若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由.

（3）若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为，若，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在，使得成立.(3)详见解析

【解析】

（1）根据集合的定义，即可求解；

（2）假设存在，使得，得到，根据与奇偶性相同，所以与奇偶性不同，进而得到结论.

（3）若，使得，得到不成立，结合数学归纳法，把数列，转化为数列，其相应集合中满足有多少项，即可得到结论.

（1）由题意，集合，

可得.

（2）假设存在，使得，

则有，

由于与奇偶性相同，所以与奇偶性不同.

又因为，，所以1024必有大于等于3的奇数因子，

这与1024无1以外的奇数因子矛盾.

故不存在，使得成立.

（3）首先证明时，对任意的都有，.

若，使得：，

由于与均大于2且奇偶性不同，所有不成立.

其次证明除形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和.

若正整数，其中，.

当时，由等差数列的性质有：

此时结论成立.

当时，由等差数列的性质有：

，

此时结论成立.

对于数列，此问题等价于数列，其相应集合中满足：有多少项.

由前面的证明可知正整数2，4，8，16，32，64，128，256，512不是集合中的项，

所以的最大值为1001.