Question

在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）（a＞b＞0）为动点，F₁，F₂分别为椭圆的左、右焦点．已知△F₁PF₂为等腰三角形．
（Ⅰ）求椭圆的离心率e；
（Ⅱ）设直线PF₂与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF₂上的点，满足，求点M的轨迹方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）直接利用△F₁PF₂为等腰三角形得|PF₂|=|F₁F₂|，解其对应的方程即可求椭圆的离心率e；
（Ⅱ）先把直线方程与椭圆方程联立，求得A，B两点的坐标，代入，即可求点M的轨迹方程．
解答：解：（Ⅰ）设F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0）．
由题得|PF₂|=|F₁F₂|，即=2c，整理得2+-1=0，得=-1（舍），或=，
所以e=．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2c，b=c，可得椭圆方程为3x²+4y²=12c²，直线方程为y=（x-c）．
A，B的坐标满足方程组，
消y并整理得5x²-8xc=0，
解得x=0，x=，得方程组的解为，，
不妨设A（c，c），B（0，-c）．
设点M的坐标为（x，y），则=（x-c，y-c），=（x，y+c）
由y=（x-c）得c=x-y  ①，
由=-2即（x-c）x+（y-c）（y+c）=-2．
将①代入化简得18x²-16xy-15=0，⇒y=代入①化简得c=＞0．所以x＞0，
因此点M的轨迹方程为18x²-16xy-15=0  （x＞0）．
点评：本题主要考查椭圆的方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力．