Question

若无穷数列满足：①对任意，；②存在常数，对任意，，则称数列为“数列”.
（Ⅰ）若数列的通项为，证明：数列为“数列”；
（Ⅱ）若数列的各项均为正整数，且数列为“数列”，证明：对任意，；
（Ⅲ）若数列的各项均为正整数，且数列为“数列”，证明：存在，数列为等差数列.

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析

解析试题分析：（Ⅰ）用作差法证，用单调性证。（Ⅱ）用反证法证明。即假设存在正整数，使得。根据和结合放缩法推倒论证得出与已知各项均为正整数相矛盾，则说明假设不成立即原命题成立。（Ⅲ）由（Ⅱ）知，需分和两种情况讨论，结合已知推理论证，根据等差的定义可证得存在 ，数列为等差数列.本题的关键是当可变形得，再用累加法表示，即，根据进行推理论证。
试题解析：（Ⅰ）证明：由，可得，，
所以，
所以对任意，．
又数列为递减数列，所以对任意，．
所以数列为“数列”．             5分
（Ⅱ）证明：假设存在正整数，使得．
由数列的各项均为正整数，可得．
由，可得．
且．
同理，
依此类推，可得，对任意，有．
因为为正整数，设，则.
在中，设，则．
与数列的各项均为正整数矛盾．
所以，对任意，.             10分
（Ⅲ）因为数列为“数列”，
所以，存在常数，对任意，．
设．
由（Ⅱ）可知，对任意，，
则．
若，则；若，则．
而时，有．
所以，，，，中最多有个大于或等于，
否则与矛盾．
所以，存在，对任意的，有