Question

设a₁≈

2

，令a₂=1+

1

1+a1

．
（1）证明

2

介于a₁、a₂之间；
（2）求a₁、a₂中哪一个更接近于

2

；
（3）你能设计一个比a₂更接近于

2

的一个a₃吗？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）中，只要证明(

2

-a1)(

2

-a2)＜    0即可．
（2）用|

2

-a|来刻画a与

2

的接近程度．
（3）由前两题的规律，找出相应满足条件的数．

解答：（1）证明：（

2

-a₁）（

2

-a₂）=（

2

-a₁）•（

2

-1-

1

1+a1

）=

(1- 2 )( 2 -a1)2

1+a1

＜0．
∴

2

介于a₁、a₂之间．
（2）解：|

2

-a₂|=|

2

-1-

1

1+a1

|
=|

(1- 2 )( 2 -a1)

1+a1

|
=

2 -1

1+a1

|

2

-a₁|＜|

2

-a₁|．
∴a₂比a₁更接近于

2

．
（3）解：令a₃=1+

1

1+a2

，
则a₃比a₂更接近于

2

．
由（2）知|

2

-a₃|=

2 -1

1+a2

|

2

-a₂|＜|

2

-a₂|．

点评：本题中，对于大小比较时，主要是作差的方法．第三小问的处理，是在前两问的基础上观察得到的规律．