Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，

Sn+1-1

an+Sn

=1，且a₁，a₂，a₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式； 
（2）设Tn=

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

，求证：1≤T_n＜2．

Answer 1

分析：（1）由

Sn+1-1

an+Sn

=1，化为S_n+1-S_n=a_n+1，可得a_n+1-a_n=1，于是数列{a_n}是公差为1的等差数列．利用a₁，a₂，a₄成等比数列，可得

a

2 2

=a1a4，(a1+1)2=a1(a1+3)，解得a₁．再利用等差数列的通项公式即可得出a_n．
（2）由（1）可得Sn=

n(n+1)

2

，于是

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)．利用“裂项求和”即可得出T_n．利用T_n的单调性即可得出1≤T_n＜2．

解答：解：（1）∵

Sn+1-1

an+Sn

=1，∴S_n+1-S_n=a_n+1，化为a_n+1-a_n=1，
∴数列{a_n}是公差为1的等差数列．
∵a₁，a₂，a₄成等比数列，∴

a

2 2

=a1a4，∴(a1+1)2=a1(a1+3)，解得a₁=1．
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
（2）∵a_n=n，∴Sn=

n(n+1)

2

，∴

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)．
∴Tn=

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=2(1-

1

n+1

)＜2．
又2(1-

1

n+1

)随着n的增大而增大，∴T_n≥T₁=1．
∴1≤T_n＜2．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式、“裂项求和”、数列的单调性等基础知识与基本方法，属于难题．