Question

【题目】已知双曲线的离心率为，且焦点到渐近线的距离为．

（1）求双曲线的标准方程；

（2）若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点，，且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

(1)由焦点到渐近线的距离可求出,再由离心率求出,从而得到双曲线方程;

(2)设直线的方程为,联立可知,利用韦达定理和中点坐标公式求出线段的垂直平分线方程,再利用题设面积可求出,结合即可求出实数的取值范围.

(1)焦点到渐近线的距离为,

又,∴,∴,

∴双曲线的标准方程为.

(2)设直线的方程为,,,

则由消去,可得,

根据题意可知,且,

即①,

设线段的中点坐标为,

则,,

∴线段的垂直平分线方程为,

此直线与轴,轴的交点坐标分别为,,

∴,化简可得②,

将②代入①得,

即,解得或,

∴实数的取值范围是.