Question

3．观察规律猜想下列数列的通项公式：
（1）1，-2，4，-8，16，…
（2）1，4，2，8，3，12，4，16，5，20，…
（3）-$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{15}$，-$\frac{8}{35}$，$\frac{16}{63}$，…

Answer 1

分析 （1）其符号为：（-1）ⁿ⁺¹，其绝对值为等比数列，首项为1，公比为2，即可得出；
（2）其奇数项为：1，2，3，4，…，为等差数列，其通项公式为a_n=$\frac{n+1}{2}$；其偶数项为：4，8，12，16，…，为等差数列，其通项公式为a_n=4n，即可得出；
（3）其符号为：（-1）ⁿ，其绝对值为$\frac{{2}^{n}}{4{n}^{2}-1}$，首项为1，公比为2，即可得出．

解答 解：（1）1，-2，4，-8，16，…，其符号为：（-1）ⁿ⁺¹，其绝对值为等比数列，首项为1，公比为2，可得：a_n=（-1）ⁿ⁺¹•2^n-1．
（2）1，4，2，8，3，12，4，16，5，20，…，其奇数项为：1，2，3，4，…，为等差数列，其通项公式为a_n=$\frac{n+1}{2}$；其偶数项为：4，8，12，16，…，为等差数列，其通项公式为a_n=4n，可得：a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n+1}{2}，n为奇数}\\{4n，n为偶数}\end{array}\right.$．
（3）-$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{15}$，-$\frac{8}{35}$，$\frac{16}{63}$，…，其符号为：（-1）ⁿ，其绝对值为$\frac{{2}^{n}}{4{n}^{2}-1}$，首项为1，公比为2，可得：a_n=（-1）ⁿ•$\frac{{2}^{n}}{4{n}^{2}-1}$．

点评 本题考查了数列的通项公式、等差数列与等比数列的通项公式，考查了公差归纳推理能力与计算能力，属于中档题．