Question

    在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点、，若动点满足且点的轨迹与抛物线交于、两点.

   （Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）在轴上是否存在一点，使得过点的直线交抛物线于于、两点，并以线段为直径的圆都过原点。若存在，请求出的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（Ⅰ） 见解析   （Ⅱ）  

解析:

（I）解：由得

知点的轨迹是过，两点的直线，故点的轨迹方程是：

即……………………………3分

由

故…………………………………………6分

（II）假设存在，使得过点的直线交抛物线，于、两点，

并以线段为直径的圆都过原点。设

      由题意，直线的斜率不为零，

      所以，可设直线的方程为

      代入 ………………………7分

则即

同时，

……………9分

则

又解得满足式

      此时，以为直径的圆都过原点。 ……………………11分

      设弦的中点为则

又

      则消去得,即为所求圆心的轨迹方程。…………14分