Question

已知二次函数g（x）对?x∈R都满足g（x-1）+g（1-x）=x²-2x-1且g（1）=-1，设函数（m∈R，x＞0）．
（1）求g（x）的表达式；
（2）若?x∈R₊，使f（x）≤0成立，求实数g（x）=-x³+2x²+mx+5的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据二次函数g（x）对?x∈R都满足g（x-1）+g（1-x）=x²-2x-1，设出g（x），根据等式的性质，可以求出a、c的值；
（2）由（1）求出的函数g（x），代入函数f（x）=，进行化简，再利用导数研究函数的最值，要使f（x）≤0成立，转化为f（x）的最小值小于0即可，从而求出m的范围；
解答：解：（1）设出g（x）=ax²+bx+c，于是
g（x-1）+g（1-x）=2a（x-1）²+2c=（x-1）²-2，
所以
由g（1）=-1，则b=-，
所以g（x）=x²-x-1，
（2）f（x）=g（x+）+mlnx+=x²+mlnx（m∈R，x＞0），
当m＞0时，由对数函数性质，f（x）的值域为R，
当m=0时，f（x）=对?x＞0，f（x）＞0恒成立，
当m＜0时，由f′（x）=x+=0⇒x=，
列表：

x	（0，）		（，+∞）
f′（x）	-		+
f（x）	递减	极小值	递增

这时f（x）_min=f（）=-+mln，
f（x）_min≤0，?，
可得m≤-e，
综上，?x＞0使f（x）≤0成立，实数m的取值范围（-∞，-e]∪（0，+∞）；
点评：此题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及函数的转化思想，导数是我们研究函数的单调性，是一道中档题，这类题是高考的热点问题；