题目内容

已知二次函数g(x)对任意实数x不等式x-1≤g(x)≤x2-x恒成立,且g(-1)=0,令f(x)=g(x)+mlnx+
12
(m∈R)

(I)求g(x)的表达式;
(Ⅱ)若?x>0使f(x)≤0成立,求实数m的取值范围;
(Ⅲ)设1<m≤e,H(x)=f(x)-(m+1)x,证明:对?x1,x2∈[1,m],恒有|H(x1)-H(x2)|<1.
分析:(I)直接设出g(x)的表达式,利用不等式x-1≤g(x)≤x2-x恒成立,可得g(1)=0与g(-1)=0相结合可得b=0,a+c=0;再代入利用不等式x-1≤g(x)≤x2-x恒成立求出a即可.
(II)先求出函数f(x)的表达式,在对实数m分情况求出对应函数f(x)的值域,让实数m与函数f(x)的最小值比较即可求实数m的取值范围;
(III)先求出函数H(x)在[1,m]单减,进而得|H(x1)-H(x2)|≤H(1)-H(m)=
1
2
m2-mlnm-
1
2
,转化为求h(m)=
1
2
m-lnm+
3
2m
(1<m≤e)
的最大值问题即可.
解答:解(I)设g(x)=ax2+bx+c(a≠0),
由题意令x=1得0≤g(1)≤0∴g(1)=0,
a+b+c=0
a-b+c=0
得b=0,a+c=0,
∵x-1≤g(x)≤x2-x对?x∈R恒成立,
∴ax2-a≥x-1和ax2-a≤x2-x恒成立,
a=
1
2

g(x)=
1
2
x2-
1
2


(II)f(x)=g(x)+mlnx+
1
2
(m∈R,x>0)
=
1
2
x2+mlnx

f′(x)=x+
m
x

当m>0时,f(x)的值域为R
当m=0时,f(x)=
1
2
x2>0对?x>0,f(x)>0
恒成立
当m<0时,令f′(x)=0?x=
-m

x (0,
-m
)
-m
(
-m
,+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) 极小
这时f(x)min=f(
-m
)=-
m
2
+mln
-m

若?x>0使f(x)≤0成立则只须f(x)min≤0即m≤-e,
综上所述,实数m的取值范围(-∞,-e)∪(0,+∞).

(III)∵对?x∈[1,m],H′(x)=
(x-1)(x-m)
x
≤0
,所以H(x)在[1,m]单减
于是|H(x1)-H(x2)|≤H(1)-H(m)=
1
2
m2-mlnm-
1
2

|H(x1)-H(x2)|<1?
1
2
m2-mlnm-
1
2
<1?
1
2
m-lnm-
3
2m
<0

h(m)=
1
2
m-lnm+
3
2m
(1<m≤e)
,则h′(m)=
1
2
-
1
m
+
3
2m2
=
3
2
(
1
m
-
1
3
)2+
1
3
>0

所以函数h(m)在[1,e]是单增函数
所以h(m)<h(e)=
e
2
-1-
3
2e
=
(e-3)(e+1)
2e
<0

故命题成立.
点评:本题主要考查函数恒成立问题以及函数解析式的求法,是对函数以及导函数知识的综合考查,是有难度的题.
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