Question

已知二次函数g（x）的图象经过坐标原点，且满足g（x+1）=g（x）+2x+1，设函数f（x）=mg（x）-ln（x+1），其中m为非零常数
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）当-2＜m＜0时，判断函数f（x）的单调性并且说明理由；
（3）证明：对任意的正整数n，不等式ln(

1

n

+1)＞

1

n2

-

1

n3

恒成立．

Answer 1

分析：（1）设出g（x）=ax²+bx+c，由g（x）图象过原点顶点c=0，根据g（x+1）=g（x）+2x+1求出a和b即可顶点g（x）的解析式；
（2）求出f（x）的定义域和其导函数，利用二次函数求出导函数的最大值小于0即导函数恒小于0，得到函数单调递减；
（3）取m=1，得到f（x）的解析式，然后设h（x）=x³-f（x）=x³-x²+ln（x+1），求出h′（x）得到其恒大于0，h（x）在
（0，+∞）为增函数即h（x）大于h（0）=0，即可得到ln（x+1）＞x²-x³恒成立，令x=

1

n

（n为正整数）得证．

解答：解：（1）设g（x）=ax²+bx+c，g（x）的图象经过坐标原点，所以c=0．
∵g（x+1）=g（x）+2x+1∴a（x+1）²+b（x+1）=ax²+bx+2x+1
即：ax²+（2a+b）x+a+b=ax²+（b+2）x+1
∴a=1，b=0，g（x）=x²；
（2）函数f（x）=mx²-ln（x+1）的定义域为（-1，+∞）．f′(x)=2mx-

1

x+1

=

2mx2+2mx-1

x+1

，
令k（x）=2mx²+2mx-1，k(x)=2m(x+

1

2

)2-

m

2

-1，k(x)max=k(-

1

2

)=-

m

2

-1，
∵-2＜m＜0，∴k(x)max=-

m

2

-1＜0，k（x）=2mx²+2mx-1＜0在（-1，+∞）上恒成立，
即f′（x）＜0，当-2＜m＜0时，函数f（x）在定义域（-1，+∞）上单调递减．
（3）当m=1时，f（x）=x²-ln（x+1）．，令h（x）=x³-f（x）=x³-x²+ln（x+1），
则h′(x)=

3x3+(x-1)2

x+1

在[0，+∞）上恒正，
∴h（x）在[0，+∞）上单调递增，当x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＞h（0）=0．，
即当x∈（0，+∞）时，有x³-x²+ln（x+1）＞0，ln（x+1）＞x²-x³，
对任意正整数n，取x=

1

n

得ln(

1

n

+1)＞

1

n2

-

1

n3

．

点评：考查学生会根据条件确定二次函数的解析式，会利用导数研究函数的单调性，会利用函数的单调性证明不等式．