题目内容

设F（1，0），点M在x轴上，点P在y轴上，且
MN
=2
MP
，
PM
⊥
PF
．
（1）当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x3，y3）是曲线C上的点，且|
AF
|，|
BF
|，|
DF
|成等差数列，当AD的垂直平分线与x轴交于点E（3，0）时，求点B的坐标．
（1）设N（x，y），则由
MN
=2
MP
得P为MN的中点，
所以M(-x，0)，P(0，
y
2
)…（1分）
又
PM
⊥
PF
，∴
PM
•
PF
=0
∵
PM
=(-x，-
y
2
)，
PF
=(1，-
y
2
)，…（3分）
∴y2=4x（x≠0）…（5分）
（2）由（1）知F（1，0）为曲线C的焦点，由抛物线定义知抛物线上任一点P0（x0，y0）到F的距离等于其到准线的距离，即|P0F|=x0+
p
2
…（6分）
故|
AF
|=x1+
p
2
，|
BF
|=x2+
p
2
，|
DF
|=x3+
p
2
，
又|
AF
|，|
BF
|，|
DF
|成等差数列
∴x1+x3=2x2…（7分）
∵直线AD的斜率KAD=
y3-y1
x3-x1
=
y3-y1
y23
4
-
y21
4
=
4
y1+y3
…（9分）
∴AD的中垂线方程为y=-
y1+y3
4
(x-3)…（10分）
又AD的中点(
x1+x3
2
，
y1+y3
2
)在直线上，代入上式，得
x1+x3
2
=1?x2=1…（11分）
故所求点B的坐标为（1，±2）…（12分）
练习册系列答案
相关题目
设F（1，0），点M在x轴上，点P在y轴上，且
MN
=2
MP
，
PM
•
PF
=0；
（1）当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x3，y3）是曲线C上除去原点外的不同三点，且
|AF|
，
|BF|
，
|DF|
成等差数列，当线段AD的垂直平分线与x轴交于点E（3，0）时，求点B的坐标．
（2004•河西区一模）设F（1，0），点M在x轴上，点P在y轴上，且
MN
=2
MP
，
PM
⊥
PF
．
（1）当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x3，y3）是曲线C上的点，且|
AF
|，|
BF
|，|
DF
|成等差数列，当AD的垂直平分线与x轴交于点E（3，0）时，求点B的坐标．
设F（1，0），点M在x轴上，点P在y轴上，且=2，=0；
（1）当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x3，y3）是曲线C上除去原点外的不同三点，且，，成等差数列，当线段AD的垂直平分线与x轴交于点E（3，0）时，求点B的坐标．
设F（1，0），点M在x轴上，点P在y轴上，且．
（1）当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x3，y3）是曲线C上的点，且成等差数列，当AD的垂直平分线与x轴交于点E（3，0）时，求点B的坐标．

设F（1，0），点M在x轴上，点P在y轴上，且

（1）当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；

（2）设是曲线C上的点，且成等差数列，当AD的垂直平分线与x轴交于点E（3，0）时，求点B的坐标。

【解析】本试题主要是对于圆锥曲线的综合考查。首先求解轨迹方程，利用向量作为工具表示向量的坐标，进而达到关系式的求解。第二问中利用数列的知识和直线方程求解点的坐标。

 

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