Question

设圆x²+y²-4x-5=0的弦AB的中点P（3，-1），则直线AB的方程为

x+y-4=0

过原点的直线与圆x²+y²-2x-4y-4=0相交所得的弦长为4，则该直线的方程为

（-2±

2

）x-y=0

．

Answer 1

分析：第一问：先把圆的方程变为标准形式，得到圆心O坐标和半径，根据垂径定理可知OP与AB垂直，求出OP的斜率，即可得到哦AB的斜率，写出AB的方程即可．
第二问：用配方法将圆的方程转化为标准方程，求出圆心坐标和半径，设直线方程为y=kx，求出圆心到直线的距离，利用直线和圆相交所成的直角三角形知识求解即可．

解答：解：①由x²+y²-4x-5=0得：（x-2）²+y²=9，得到圆心O（2，0），所以求出直线OP的斜率为

1-0

3-2

=1，
根据垂径定理可知OP⊥AB
所以直线AB的斜率为-1，过P（3，1），所以直线AB的方程为y-1=-1（x-3）即x+y-4=0
②设直线方程为y=kx，
圆x²+y²-2x-4y-4=0即（x-1）²+（y-2）²=9
即圆心坐标为（1，2），半径为r=3
因为弦长为4，圆心到直线的距离，

|k-2|

k2+1

=

32-22

，
解得k=-2+

2

或k=-2-

2

，
所以该直线的方程为：y=（-2±

2

）x
故答案为：x+y-4=0；（-2±

2

）x-y=0．

点评：考查学生灵活运用直线与圆相交的性质，直线和圆的相交弦长问题，会根据两直线垂直得到斜率的乘积为-1，会写出直线的一般式方程．注意弦长和半径的关系．