题目内容
（本小题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）求f(x)在［-1，e］（e为自然对数的底数）上的最大值；
（Ⅱ）对任意给定的正实数a，曲线y= f(x)上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？
【答案】
解：（Ⅰ）∵e=
∴c= a
∴b2=a2-c2=
a2
故所求椭圆为：
………………………………（1分）
又椭圆过点（
） ∴
∴a2 =4. b2 =1 ∴
（3分）
(Ⅱ)设P（x1,y1）, Q（x2,y2）,PQ的中点为（x0,y0）
将直线y=kx+m与
联立得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0
①
又x0=
……………………（5分）
又点［-1，0）不在椭圆OE上，
依题意有
整理得3km=4k2+1 ②……………………………………………………（7分）
由①②可得k2＞
，∵m＞0,
∴k＞0,∴k＞
……………………（8分）
设O到直线l的距离为d，则
S△OPQ =
=
……………………………（10分）
当
的面积取最大值1，此时k=
∴直线方程为y=
……………………………………（12分）
【解析】略
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(a＞b＞0)，曲线C2的方程为y=
，且曲线C1与C2在第一象限内只有一个公共点P。（1）试用a表示点P的坐标；（2）设A、B是椭圆C1的两个焦点，当a变化时，求△ABP的面积函数S(a)的值域；（3）记min{y1,y2,……,yn}为y1,y2,……,yn中最小的一个。设g(a)是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形的面积，试求函数f(a)=min{g(a), S(a)}的表达式。
=2，点（
）在函数
的图像上，其中
=
.
}是等比数列；
，求
及数列{
}的通项公式；
，求数列{
}的前n项和
，并证明
.
天(
)的销售价格(单位：元)为
，第
，已知该商品成本为每件25元.
关于第
的图像在点
处的切线与直线
平行.
，
满足的关系式；
上恒成立，求
（
）