Question

已知直线y=x+b与抛物线y²=2x有两个不同的公共点A、B，O为坐标原点．
（1）求实数b的取值范围；
（2）当b=-2时，①求证OA⊥OB；②计算△AOB的面积．

Answer 1

（1）由

y=x+b y2=2x

得，y²-2y+2b=0，由△=4-8b＞0得，b＜

1

2

…（4分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），当b=-2时，由（1）知y₁+y₂=2，y₁y₂=-4
①

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

y 21 y 22

4

+y₁y₂=0，所以OA⊥OB…（7分）
②因为x₁x₂=

y 21 y 22

4

=4，x₁+x₂=（y₁+2）+（y₁+2）=y₁+y₂+4=6
所以S△OAB=

1

2

|OA||OB|=

1

2

x 21 + y 21

x 22 + y 22

=

1

2

x 21 +2x1

x 22 +2x2

=

1

2

x 21 x 22 +2x1x2(x1+x2+2)

=2

10

…（10分）