题目内容

设，．

(1)求n=1，2，3时，f(n)与g(n)的值，并判断f(n)与g(n)的关系；

(2)用数学归纳法证明(1)中的结论．

答案：略
解析：

(1)解：，，f(1)=g(1)．

，，f(2)=g(2)．

，，

f(3)=g(3)．由此判断f(n)=g(n)．

(2)证明：当n=1时，，命题成立．

假设n=k时，f(k)=g(k)成立，

当n=k＋1时，

，

，

其中，

∴f(k＋1)=g(k＋1)，

当n=k＋1时，命题也成立．

由上知，对任意自然数，命题成立．


提示：

练习册系列答案
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如图所示，设曲线y=
1
x
上的点与x轴上的点顺次构成等腰直角三角形△OB1A1，△A1B2A2，…，直角顶点在曲线上y=
1
x
，设An的坐标为（an，0），A0为原点
（1）求a1，并求出an和an-1 n∈N*之间的关系式；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设bn=
2
an-1+an
(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn．
当p1，p2，…，pn均为正数时，称
n
p1+p2+…+pn
为p1，p2，…，pn的“均倒数”．已知数列{an}的各项均为正数，且其前n项的“均倒数”为
1
2n+1
．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设cn=
an
2n+1
（n∈N*），试比较cn+1与cn的大小；
（3）设函数f(x)=-x2+4x-
an
2n+1
，是否存在最大的实数λ，使当x≤λ时，对于一切正整数n，都有f（x）≤0恒成立？
（2012•浦东新区一模）定义数列{xn}，如果存在常数p，使对任意正整数n，总有（xn+1-p）（xn-p）＜0成立，那么我们称数列{xn}为“p-摆动数列”．
（1）设an=2n-1，bn=(-
1
2
)n，n∈N*，判断{an}、{bn}是否为“p-摆动数列”，并说明理由；
（2）已知“p-摆动数列”{cn}满足cn+1=
1
cn+1
，c1=1，求常数p的值；
（3）设dn=（-1）n•（2n-1），且数列{dn}的前n项和为Sn，求证：数列{Sn}是“p-摆动数列”，并求出常数p的取值范围．
（2012•杭州二模）在等差数列{an}，等比数列{bn}中，a1=b1=1，a2=b2，a4=b3≠b4．
（Ⅰ）设Sn为数列{an}的前n项和，求anbn和Sn；
（Ⅱ）设Cn=
anbnSn+1
（n∈N*），Rn=C1+C2+…+Cn，求Rn．

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