题目内容

设正实数x，y满足条件
lg
10x
y
≥0
lg
xy
10
≤0
y≥1
，则lg（x2y）的最大值为
2
2
．
分析：利用对数的运算性质可对约束条件进行变形，再用换元法可将约束条件中各不等式化为整式不等式，画出可行域后，求出各角点的坐标，代入目标函数可得目标函数的最值．
解答：解：正实数x，y满足条件
lg
10x
y
≥0
lg
xy
10
≤0
y≥1
，
即
lgx-lgy+1≥0
lgx+lgy-1≤0
lgy≥0
，
令a=lgx，b=lgy，
则
a-b+1≥0
a+b-1≤0
b≥0
，
满足条件的可行域如下图所示：

当a=-1，b=0时，lg（x2y）=2lgx+lgy=2a+b=-2
当a=1，b=0时，lg（x2y）=2lgx+lgy=2a+b=2
当a=0，b=1时，lg（x2y）=2lgx+lgy=2a+b=1
故lg（x2y）的最大值为2
故答案为：2
点评：本题考查的知识点是简单的线性规划，但由于约束条件不是二元一次不等式，故难度较大，解答的关键是利用对数的性质及换元法，将其约束条件中各不等式化为整式不等式
练习册系列答案
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在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分，请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：（几何证明选讲）
如图，从O外一点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，
AB与OP交于点M，设CD为过点M且不过圆心O的一条弦，
求证：O，C，P，D四点共圆．
B．选修4-2：（矩阵与变换）
已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量e1=[
 
1
1
]，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（9，15），求矩阵M．
C．选修4-4：（坐标系与参数方程）
在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为p=2
2
sin（θ-
π
4
），以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为
x=1+
4
5
t
y=-1-
3
5
t
（t为参数），求直线l被曲线C所截得的弦长．
D．选修4-5（不等式选讲）
已知实数x，y，z满足x+y+z=2，求2x2+3y2+z2的最小值．
在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分，请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
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如图，从O外一点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，
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求证：O，C，P，D四点共圆．
B．选修4-2：（矩阵与变换）
已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量e1=[]，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（9，15），求矩阵M．
C．选修4-4：（坐标系与参数方程）
在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为p=2sin（），以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l被曲线C所截得的弦长．
D．选修4-5（不等式选讲）
已知实数x，y，z满足x+y+z=2，求2x2+3y2+z2的最小值．
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