Question

设函数f(x)=sinx(sinx+cosx)+m,m∈R.

(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;

(2)(理)当x∈［0,］时,函数f(x)的最小值为1,求此时f(x)的最大值及相应x的值.

(文)当x∈［0,］时,函数f(x)的最小值为1,求m的值.

Answer 1

解：f(x)=sin²x+sinxcosx+m=sin2x+m=sin(2x)++m.

(1)f(x)的最小正周期T=π,由2kπ-≤2x≤2kπ+,得kπ≤x≤kπ+,k∈Z,故f(x)的单调递增区间为［kπ,kπ+］,k∈Z.

(2)(理)∵0≤x≤,∴≤2x≤.∴≤sin(2x)≤1.当sin(2x)=时,原函数最小值为1,即+m+=1,∴m=1,f(x)=sin(2x)+.当x=时,f(x)的最大值为.

(文)∵0≤x≤,∴≤2x≤.∴≤sin(2x)≤1.当sin(2x)=时,原函数最小值为1,即+m+=1,∴m=1.