Question

求函数y=x-

3x-2

的值域．

Answer 1

分析：换元：令

3x-2

=t（t≥0），将原函数转化为y=

1

3

t²-t+

2

3

，再结合函数的图象，求二次函数在[0，+∞）上的最小值，即可得到函数y=x-

3x-2

的值域．

解答：解：令

3x-2

=t（t≥0），得x=

1

3

（t²+2）
∴y=x-

3x-2

=

1

3

（t²+2）-t=

1

3

t²-t+

2

3

∵

1

3

t²-t+

2

3

=

1

3

（t-

3

2

）²-

1

12

∴y=

1

3

t²-t+

2

3

的最小值为-

1

12

，当且仅当t=

3

2

，即x=

17

12

时，函数取得最小值
综上所述，得函数y=x-

3x-2

的值域为[-

1

12

，+∞）

点评：本题采用换元的方法，求含有根式的函数的值域，着重考查了二次函数的图象与性质和函数值域的求法等知识，属于基础题．