Question

如图，C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，∠ACB的平分线DC交AE于点F，交AB于D点．
（I）求∠ADF的度数；
（II）当AB=AC时，求证：∠ACE∽△BCA，并求相似比

AC

BC

的值．

Answer 1

分析：（I）确定∠DAE=90°，即可求∠ADF的度数；
（II）利用∠B=∠EAC，∠ACB=∠ACB，可得△ACE∽△ABC，从而可求相似比

AC

BC

的值．

解答：（I）解：∵AC为圆O的切线，∴∠B=∠EAC
又知DC是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠DCB      …（3分）
∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD即∠ADF=∠AFD 
又因为BE为圆O的直径，
∴∠DAE=90°
∴∠ADF=

1

2

(180°-∠DAE)=45° …．（6分）
（II）证明：∵∠B=∠EAC，∠ACB=∠ACB，∴△ACE∽△ABC  …．…（8分）
∴

AC

BC

=

AE

AB

，
又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=30°，…（10分）
∴在Rt△ABE中，

AC

BC

=

AE

AB

=tan∠B=tan30°=

3

3

…．（12分）

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查三角形的相似，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．