Question

已知函数f（x）=x²-（a-1）x-b-1，当x∈[b，a]时，函数f（x）的图象关于y轴对称，数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=f（n）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

an

2n

，T_n=b₁+b₂+…+b_n，若T_n＞2^m，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）依题意知f（-x）=f（x）且a+b=0，可求得a=1，b=-1，继而可求得S_n=f（n）=n²，于是可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）依题意，T_n=

1

2

+

3

22

+…+

2n-1

2n

，利用错位相减法可求得T_n=3-

2n+3

2n

，由T_n+1-T_n=

2n+1

2n+1

＞0，可知T_n≥T₁=

1

2

，从而可求得m的范围．

解答：解：（1）x∈[b，a]时，函数f（x）的图象关于y轴对称，
∴f（-x）=f（x）且a+b=0，解得a=1，b=-1，
∴f（x）=x²；                        
由S_n=f（n）=n²，得
当n=1时a₁=1，
当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=2n-1，
∴a_n=2n-1；
（2）∵b_n=

an

2n

=

2n-1

2n

，
∴T_n=

1

2

+

3

22

+…+

2n-1

2n

，①

1

2

T_n=

1

22

+

3

23

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

，②
①-②得：

1

2

T_n=

1

2

+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

=

1

2

+

1 2 (1-( 1 2 )n-1)

1- 1 2

-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

2n+3

2n+1

，
∴T_n=3-

2n+3

2n

．
由T_n+1-T_n=

2n+1

2n+1

＞0，可知T_n≥T₁=

1

2

，
由T_n＞2^m，可得2^m＜

1

2

，
解得m＜-1．

点评：本题考查数列的求和，着重考查偶函数的性质，求得a_n=2n-1是关键，突出考查错位相减法求和与指数不等式，属于难题．