Question

已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）抛物线与椭圆有公共焦点，设与轴交于点，不同的两点、在 上（、与不重合），且满足，求的取值范围.

Answer 1

（1）椭圆的方程是；（2）的取值范围是.

试题分析：（1）利用直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长的圆相切，先求出的值，再结合椭圆的离心率求出的值，最终确定椭圆的方程；（2）先设点、，利用向量坐标运算从条件出发，确定与之间的关系，并利用基本不等式求出的取值范围，并求出的表达式，利用二次函数的单调性求出的取值范围.
试题解析：（1）由直线与圆相切，得，
由，得，所以，
所以椭圆的方程是；
（2）由，故的方程为，
易知，设、，
∴，
由，得，
，所以，
 ，当且仅当，即时等号成立．
又，
，所以当，即时，，
故的取值范围是.