题目内容

（2010•孝感模拟）如图，半径1的⊙O上有一定点P和两个动点A、B，且|
AB
|=1，求
PA
•
PB
的最大值．
分析：可连接OA、OB、OP，设∠AOP=θ，则∠POB=θ+
π
3
，将
PA
•
PB
转化为
PA
•
PB
=（
OA
-
OP
）•（
OB
-
OP
）=
OA
•
OB
-
OA
•
OP
-
OP
•
OB
+
OP
2，再利用向量的数量积计算即可．
解答：解：连接OA、OB、OP，由|
OA
|=|
OB
|=|
AB
|=1知：∠AOB=
π
3
，…2
设∠AOP=θ，则∠POB=θ+
π
3
，于是
PA
•
PB
=（
OA
-
OP
）•（
OB
-
OP
）=
OA
•
OB
-
OA
•
OP
-
OP
•
OB
+
OP
2…4
=1×1×cos
π
3
-1×1×cosθ-1×1×cos（θ+
π
3
）+1
=
3
2
-[cosθ+cos（θ+
π
3
）]
=
3
2
-
3
（
3
2
cosθ-
1
2
sinθ）
=
3
2
-
3
cos（θ+
π
6
）…10
∴
PA
•
PB
的最大值为：
3
2
+
3
…12
点评：本题考查余弦函数的定义域和值域，关键在于将
PA
•
PB
进行合理转化，考查转化思想与辅助角公式的运用，属于中档题．
练习册系列答案
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OA
|＞|
OB
|，|
OC
|=|
OB
|，设
OA
=a，
OB
=b，若
AC
=λ•
AB
，则实数λ的值为（　　）

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