Question

在数列{a_n}中，已知a₁=1，a_n=a_n-1+a_n-2+…+a₂+a₁（n∈N*，n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=log₂a_n，

1

b3b4

+

1

b4b5

+…+

1

bnbn+1

＜m对于任意的n∈N*，且n≥3恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

（1）∵a_n=a_n-1+a_n-2+…+a₂+a₁（n∈N*，n≥2），
∴S_n-S_n-1=S_n-1，∴

Sn

Sn-1

=2，
∴数列{S_n}是以S₁=a₁=1为首项，以2为公比的等比数列，
∴S_n=2^n-1．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1-2^n-2=2^n-2．
∵a₁=1不适合上式，
∴数列的通项公式为an=

1(n=1) 2n-2(n≥2).

（2）当n∈N*，且n≥3时，b_n=n-2，

1

bnbn+1

=

1

(n-2)(n-1)

=

1

n-2

-

1

n-1

，
∴

1

b3b4

+

1

b4b5

+…+

1

bnbn+1

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-2

-

1

n-1

)=1-

1

n-1

＜m恒成立，
∴m≥1．