题目内容

已知D是直角△ABC斜边BC上一点，AB=AD，∠ABC=β．且AC= $数学公式$ DC，则β=________．

$\text{[math]}$
分析：根据正弦定理可求得sinβ= $\text{[math]}$ sinα，通过三角形是直角三角形，推出sinα+cos2β=0，即可求解sinβ，进而求得β的值．
解答：

解：如图，设∠CAD=α，△ADC中，由正弦定理 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，则sinβ= $\text{[math]}$ sinα
∵α= $\text{[math]}$ -∠BAD= $\text{[math]}$ -（π-2β）=2β- $\text{[math]}$
得sinβ=- $\text{[math]}$ cos2β=- $\text{[math]}$ （1-2sin^₂β）
∴sinα=sin（2β- $\text{[math]}$ ）=-cos2β，
即sinα+cos2β=0
即2 $\text{[math]}$ sin^₂β-sinβ- $\text{[math]}$ =0
解得sinβ= $\text{[math]}$ 或sinβ= $\text{[math]}$
∵0＜β＜ $\text{[math]}$ ∴sinβ= $\text{[math]}$
∴β= $\text{[math]}$ ，
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题主要考查了诱导公式化简求值，正弦定理．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．