题目内容

已知函数f（x）=x4+（a-x）x2+（5-a）对任意实数x恒为正值，求实数a的取值范围．
分析：函数对任意实数x恒为正值，其实就是f（x）的最小值大于0，只需证f（x）min＞0即可，方法是求出导函数=0时的值，分区间讨论函数的增减性得到f（x）的最小值证明它大于0即可求出a的取值范围．
解答：解：令f′（x）=4x3-3x2+2ax=0，得x=0或4x2-3x+2a=0
当x=0时f（x）=5-a＞0得a＜5；
当4x2-3x+2a=0，当a≤
9
32
时即x=
3±
9-32a
8
；当a＞
9
32
，方程无解．
当x＞
3+
9-32a
8
或x＜
3-
9-32a
8
时，f′（x）＞0，函数为增函数；当
3+
9-32a
8
＞x＞
3-
9-32a
8
时，函数为减函数，因为函数f（x）=x4+（a-x）x2+（5-a）对任意实数x恒为正值则f（x）min=f（
3+
9-32a
8
）＞0；
所以a＜5时，函数对任意实数x恒为正数．
点评：考查学生会利用导数研究函数极值的能力，以及理解分类讨论的数学思想．
练习册系列答案
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精英家教网已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)
（2012•深圳一模）已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

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