Question

17．已知四棱锥P-ABCD的5个顶点都在球O的球面上，若底面ABCD为距形，AB=4，BC=4$\sqrt{3}$，且四棱锥P-ABCD体积的最大值为64$\sqrt{3}$，则球O的表面积为$\frac{1600π}{9}$．

Answer 1

分析 由底面ABCD为矩形，AB=4，BC=4$\sqrt{3}$，且四棱锥P-ABCD体积的最大值为64$\sqrt{3}$，可得四棱锥P-ABCD的高的最大值为$\frac{3×64\sqrt{3}}{4×4\sqrt{3}}$=12，矩形的对角线长为8，由射影定理求出R，即可求出球O的表面积．

解答 解：∵底面ABCD为矩形，AB=4，BC=4$\sqrt{3}$，且四棱锥P-ABCD体积的最大值为64$\sqrt{3}$，
∴四棱锥P-ABCD的高的最大值为$\frac{3×64\sqrt{3}}{4×4\sqrt{3}}$=12，矩形的对角线长为8
设球的半径为R，则由射影定理可得16=12×（2R-12），∴R=$\frac{20}{3}$
∴球O的表面积为S=$4π×（\frac{20}{3}）^{2}$=$\frac{1600π}{9}$
故答案为：$\frac{1600π}{9}$．

点评 本题考查球O的表面积，考查四棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．