Question

在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，点E、F分别在B B₁、DD₁上，且AE⊥A₁B，AF⊥A₁D．

（1）求证：A₁C⊥平面AEF；

（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所成的二面角中的锐角（或直角），则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等．

试根据上述定理，在AB=4，AD=3，AA₁=5时，求平面AEF与平面D₁B₁BD所成角的大小．（用反三角函数值表示）

 

Answer 1

答案：
解析：

证明： （1）因为，所以在平面上的射影为． 由，，得． 同理可证． 因为，， 所以． [解]（2）过作的垂线交．因为，所以． 设所成的角为，则即为平面与平面所成的角． 由已知，计算得． 如图建立直角坐标系，则得点 ． 因为与所成的角为，所以， ． 由定理知，平面与平面所成角的大小为．