Question

定义：一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P是侧面BCC₁B₁内一动点，若点P到直线C₁D₁的距离是点P到平面ABCD的距离的

1

2

倍，则动点P的轨迹所在的曲线类型是（　　）

A．圆

B．椭圆

C．双曲线

D．抛物线

Answer 1

分析：利用新定义，结合长方体，将点P到直线C₁D₁的距离是点P到平面ABCD的距离的

1

2

倍，转化为侧面BCC₁B₁中，动点P到定点C₁的距离等于点P到直线BC距离的

1

2

倍，根据椭圆的定义，即可判断．

解答：解：由题意，连接PC₁，过P作PE⊥BC
∵平面ABCD⊥平面BCC₁B₁，PE⊥BC，平面ABCD∩平面BCC₁B₁=BC
∴PE⊥平面ABCD
∵D₁C₁⊥平面BCC₁B₁，PC₁?平面BCC₁B₁，
∴PC₁⊥D₁C₁
∵点P到直线C₁D₁的距离是点P到平面ABCD的距离的

1

2

倍，
∴PC₁=

1

2

PE
即侧面BCC₁B₁中，动点P到定点C₁的距离等于点P到直线BC距离的

1

2

倍，
∴动点P的轨迹所在的曲线类型是椭圆
故选B．

点评：本题以新定义为载体，考查椭圆的定义，解题的关键是将已知条件转化为侧面BCC₁B₁中，动点P到定点C₁的距离等于点P到直线BC距离的

1

2

倍．