题目内容

已知关于x的方程x²+（2+a）x+1+a+b=0的两根为x₁，x₂，且0＜x₁＜1＜x₂，则 $数学公式$ 的取值范围是________．

$\text{[math]}$
分析：由题意可得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，如图所示，由图可知 $\text{[math]}$ ，再由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上是增函数，求出z的范围．
解答：由方程x²+（2+a）x+1+a+b=0的二次项系数为1＞0，故函数f（x）=x²+（1+a）x+1+a+b图象开口方向朝上．
又∵方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x₁＜1＜x₂，则 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，如图所示：

∵ $\text{[math]}$ 表示阴影区域上一点与原点连线的斜率，由图可知 $\text{[math]}$ ，
而 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上是增函数，
而当 $\text{[math]}$ =-2时，z=- $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ 时，z= $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$ ，
故答案： $\text{[math]}$ ．
点评：本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题