Question

【题目】已知四棱锥中，底面为菱形，，平面，、分别是、上的中点，直线与平面所成角的正弦值为，点在上移动.

（Ⅰ）证明：无论点在上如何移动，都有平面平面；

（Ⅱ）求点恰为的中点时，二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）推导出AE⊥PA，AE⊥AD，从而AE⊥平面PAD，由此能证明无论点F在PC上如何移动，都有平面AEF⊥平面PAD．

（Ⅱ）以A为原点，AE为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣AF﹣E的余弦值．

（Ⅰ）连接

∵底面为菱形，，

∴是正三角形，

∵是中点，∴

又，∴

∵平面，平面，

∴，又

∴平面，又平面

∴平面平面.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，，两两垂直，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

∵平面，

∴就是与平面所成的角，

在中，，即，

设，则，得，

又，设，则，

所以，

从而，∴，

则，，，，，

，，

所以，，，

设是平面一个法向量，则

取，得

又平面，∴是平面的一个法向量，

∴

∴二面角的余弦值为.